Die tragische Geschichte vom fehlenden Glied

Diese Episode aus der Wissenschaftsgeschichte zeigt exemplarisch, wie das Konzept der Symmetrie (oft gleichbedeutend mit "Harmonie") einen Physiker (Albert Einstein) in eine Sackgasse treibt, w├Ąhrend ein Mathematiker (David Hilbert) unbeeindruckt davon seine Berechnungen nach h├Âheren Prinzipien durchf├╝hrt und Symmetrien h├Âchstens als Hilfsmittel betrachtet, nicht als Endziel. - Schauen Sie sich die beiden Formel an:


(1) A = B
(2) A + x = B


Welche gef├Ąllt Ihnen besser? Jeder Physiker w├╝rde sagen: Formel (1), denn was soll das bl├Âde x in Formel (2), egal, was es bedeutet? Genauso dachte Einstein, mit fatalen Folgen. Sein Ziel war es seit Aufstellung der speziellen Relativit├Ątstheorie (1905), eine allgemeine Theorie der Welt aufzustellen, in der die Wirklichkeit mit Hilfe der Kr├╝mmung des Raums beschrieben werden sollte, also als Formel:


Mathematik = Physik, oder etwas konkreter:
Raumkr├╝mmung = Materie + Energie


Das Konzept war nicht neu. Schon in den 1870er Jahren hatte es William Kingdon, der ├ťbersetzer der Riemannschen Werke, als Ziel vorgeschlagen. Anfang des 20. Jahrhunderts stellte dann Heinrich Hertz die erste Formel in diesem Zusammenhang auf, eine Bewegungsgleichung entlang von "Geod├Ątischen", das sind k├╝rzeste Verbindungslinien in gekr├╝mmten R├Ąumen. Einstein hatte sich die mathematische Disziplin angeeignet, die zur Beschreibung gekr├╝mmter R├Ąume diente, die Tensorrechnung, damals auch "Ricci-Kalk├╝l" genannt.
In diesem Kalk├╝l gibt es eine Gr├Â├če Rik, den Kr├╝mmungs- oder Riccitensor, der die Raumkr├╝mmung in jedem Punkt beschreibt. Damit h├Ątten wir die linke Seite. Auf der rechten Seite dachte sich Einstein einen Tensor aus, der alles physikalisch Bedeutungsvolle enth├Ąlt (Massen, Energien, Potentiale). Er nannte ihn "Energie-Impuls-Tensor" und bezeichnet ihn mit Tik. Und so fand er eine Formel, die in allereinfachster Schreibweise so aussieht:
Rik = kTik
k ist eine Konstante zur Umrechnung mathematischer Einheiten in physikalische. Diese Formel entspricht genau Einsteins Programm - blo├č, sie war falsch, was sich dann zeigte, wenn er sie in ein anderes (beliebiges) Koordinatensystem ├╝bertragen wollte. Auch sein Mathematikerfreund Marcel Gro├čmann konnte ihm nicht helfen. Dabei arbeiteten die beiden jetzt schon beinahe 10 Jahre an dem Problem!
Verzweifelt fuhr Einstein 1915 nach G├Âttingen, der Hauptstadt der mathematischen Physik, und hielt dort einen Vortrag ├╝ber seine Pl├Ąne und Probleme. Hilbert, einer der gr├Â├čten Mathematiker des 20. Jahrhunderts und immer stark an Grundlagenfragen der Physik interessiert, h├Ârte aufmerksam zu, setzte sich danach an seinen Schreibtisch und hatte - mit Hilfe eines von ihm verfeinerten mathematischen Verfahrens - in k├╝rzester Zeit die korrekte Formel. Die sah so aus:


Rik - ┬ŻgikR = kTik


also genau die Form der Formel (2) von oben. Aber was sollte das Zusatzglied? Es lieferte ja nicht einmal zus├Ątzliche Informationen. R ist die Gesamtkr├╝mmung des Raums, also eine Art Mittelwert ├╝ber die Rik, mithin nichts wirklich Neues. gik ist die sogenannte Metrik des Raums, die man braucht, um Entfernungen zu messen oder von einem Koordinatensystem in ein anderes ├╝berzugehen.
Im nachhinein wird klar, wozu das Zusatzglied (das man keinesfalls erraten konnte) diente: Einstein setzte voraus, dass seine Formeln in allen Koordinatensystemen gelten, und zur Koordinatentransformation braucht man eben die Metrik. Dass sie in dieser Form auftritt, konnte, wie gesagt, niemand erraten. F├╝r Hilbert war das kein Problem gewesen: Die Gesamtformel ergab sich automatisch beim Berechnen, die Asymmetrie der Seiten st├Ârte ihn nicht.
Hilbert hatte Einsteins Programm gerettet, doch letzterer zeigte sich keineswegs dankbar. W├╝tend ├╝bernahm er das fehlende Glied und beschuldigte in einem Brief an einen Freund sogar Hilbert, von ihm, Einstein, abgeschrieben zu haben! Dennoch anerkannte auch Hilbert Einsteins jahrzehntelange Bem├╝hung um eine Art "Weltformel", und darum hei├čt die obige Formel auch "Einsteinsche Feldgleichung der Gravitation". Die zugeh├Ârige Theorie ist unter dem Namen "Allgemeine Relativit├Ątstheorie" in die Geschichte eingegangen.

Einstein rechnend

Abstraktion oder Intuition? Mathematiker st├╝tzen sch auf erstere, Physiker sind Meister im letzteren. Aber manchmal landen sie mit reiner Intuition in einer Sackgasse.

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